Giả sử X, Y là các không gian tôpô với Y là một không gian Hausdorff. Gọi p là một điểm giới hạn của Ω ⊆ X, và L ∈ Y. Với hàm số f : Ω → Y, ta nói giới hạn của f khi x tiến tới p là L (tức là, f(x) → L khi x → p) và viết:

lim x → p f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}

nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn: với mọi lân cận mở V của L, tồn tại một lân cận mở U của p sao cho f(U ∩ Ω − {p}) ⊆ V.

Để ý rằng tập xác định của f không nhất thiết phải chứa p, và nếu có thì giá trị của f tại p không ảnh hưởng đến định nghĩa của giới hạn. Cụ thể, nếu tập xác định của f là X \ {p} (hoặc toàn bộ X), thì giới hạn của f khi x → p tồn tại và bằng L nếu, với mọi tập con Ω của X có điểm giới hạn p, giới hạn của f trên Ω tồn tại và bằng L. Đôi khi điều kiện này được dùng để thiết lập sự không tồn tại của giới hạn hai bên của một hàm số trên R bằng cách chỉ ra các giới hạn một bên không tồn tại hoặc không bằng nhau.

Ngoài ra, điều kiện Y là một không gian Hausdorff có thể được nói lỏng thành một không gian tôpô nói chung, nhưng khi ấy giới hạn của hàm số có thể không còn là duy nhất. Cụ thể, ta nói một giới hạn hoặc tập các giới hạn của hàm số tại mộ điểm.

Một hàm số liên tục tại điểm giới hạn p nằm trong tập xác định của nó khi và chỉ khi f(p) là (một) giới hạn của f(x) khi x tiến tới p.